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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 286 — #292
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286 9. C´ alculo estoc´ astico

2
d) Nuevamente restringida al espacio H ,la integral es una martingala,
es decir, es integrable, adaptada y para 0 s t,se cumple

t s
E X u dB u F s X u dB u .
0 0
2
En general, para procesos en L ,la integral ya no es una martingala
loc
sino una martingala local.
e) Existe una versi´on continua de la integral estoc´astica.

9.2. F´ormula de Itˆo

Usualmente una integral de Riemann no se calcula a partir de sudefinici´on,
en lugar de ello existen f´ormulas bien conocidas que agilizan y simplifican
los c´alculos. La misma situaci´on se presenta para integrales estoc´asticas: en
pocos casos se calculan ´estas a trav´es de su definici´on. La famosa f´ormula de
Itˆo es la herramienta fundamental para este tipo de integrales. Se enuncia
acontinuaci´on este resultadoen una versi´on simple y se ejemplifica su uso.
M´as adelante se presenta una versi´on un poco m´as general. En lo sucesivo
haremos referencia a las siguientes espacios de funciones: una funci´on real de
1
variable real es de clase C ,cuando es diferenciable y su derivada es conti-
2
nua. An´alogamente, una funci´on es de clase C ,sies dos veces diferenciable
ysu segunda derivada es una funci´on continua.

2
Teorema 9.1 (F´ormula de Itˆo) [I] Sea f x es un funci´on de clase C .
Entonces

t 1 t
f B t f B 0 f B s dB s f B s ds. (9.9)
0 2 0

Explicaremos una forma de obtener este resultado usando el teorema de
Taylor pero sin dar una justificaci´on rigurosa. Para una funci´on f x sufi-
cientemente suave, se tiene que

f x f x 0 f x 0 x x 0 R x ,

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