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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 283 — #289
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9.1. Integraci´ on estoc´ astica 283

se obtiene

t n 1
B s dB s l´ım B t k B t k 1 B t k
n
0 j 0
n 1 1 1
l´ım B 2 B 2 B t k 1 B t k 2
n 2 t k 1 t k 2
j 0
1 2 1
B t.
2 t 2

La primera suma es telesc´opica mientras que la segunda suma corresponde
ala variaci´on cuadr´atica del movimiento Browniano. Los l´ımites indicados
son v´alidos en el sentido de media cuadr´atica. Observe que aparece el t´ermi-
2
no 1 B como si se siguieran las reglas de integraci´on usual, pero aparece
2 t
tambi´en el t´ermino 1 t, conocido como la correcci´on de Itˆo. Ahora veamos
2
el cambio en la soluci´on de la integral (9.8) cuando se modifica ligeramente
la forma de calcularla. El cambio consiste en evaluar el integrando en el
extremo derecho de cada subintervalo. Observe que en este caso el proceso
aintegrar yanoes adaptado y por lotanto queda fuerade lateor´ıa desa-
rrollada antes. Usando la identidad

1 1
b b a b 2 a 2 a b 2
2 2
se obtiene, nuevamente en el sentido de media cuadr´atica,

t n 1
B s dB s l´ım B t k 1 B t k 1 B t k
0 n j 0
n 1 1 1
l´ım B 2 B 2 2
n 2 t k 1 t k 2 B t k 1 B t k
j 0
1 1
B 2 t.
2 t 2

El signo del segundo t´ermino cambi´o de negativo a positivo.Esto muestra
que, a diferencia de la integral de Riemann, la integral estoc´astica es sen-
sible al punto donde se eval´ua el integrando. Al considerar el promedio de
las dos evaluaciones en los extremos se obtiene la as´ı llamada integral de

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