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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 281 — #287
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9.1. Integraci´ on estoc´ astica 281

necesariamente continuo, sin embargo puede demostrarse queexiste una
versi´on continua de ´el, y que esa versi´on es una martingalarespecto de la
filtraci´on natural del movimiento Browniano. Denotaremos por el mismo
s´ımbolo a tal martingala continua.

Extensi´on por localizaci´on
Mediante un procedimiento llamado de localizaci´on es posible extender la
definici´on de integral de Itˆo a procesos medibles y adaptados que cumplen
la condici´on menos restrictiva
T
2
P X t dt 1. (9.6)
0

Denotaremos por L 2 el espacio de todos estos procesos. Este nuevo espacio
loc
2
contiene a H yes tal que para cada proceso X en L 2 existe una sucesi´on
loc
creciente de tiempos de paro 0 τ 1 τ 2 tales que τ n T cuando
2
n ,y para cada n 1el proceso X t 1 τ n t pertenece al espacio H .Se
define entonces la integral estoc´astica como el siguiente l´ımite en el espacio
2
L P ,
t T
X s dB s l´ım X s 1 τ n t ω 1 0,t s dB s .
n
0 0
Nuevamente es posible demostrar que tal l´ımite existe, que existe una ver-
si´on continua de ´el, y que es independiente de la sucesi´on de tiempos de
paro localizante. En este caso la integral ya no es una martingala sino una
X es una
martingala local, esto quiere decir que el proceso detenido I t τ n
martingala para cada natural n.En general, la isometr´ıa de Itˆo ya no se
cumple cuando la integral estoc´astica tiene como dominio dedefinici´on el
espacio L 2 loc .

Ejemplo 9.1 Para el movimiento Browniano unidimensional B t : t 0
ypara cualquier funci´oncontinua f,el proceso f B t :0 t T tiene
trayectorias continuas y acotadas, por lo tanto se cumplen las condiciones
de adaptabilidad y medibilidad y se cumple tambi´en (9.6), por lo tanto este
2
proceso es un elemento de L ,y tienesentido la expresi´on
loc
t
f B s dB s , 0 t T.
0

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