Page 288 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 280 — #286
✐ ✐

280 9. C´ alculo estoc´ astico

2
La propiedad de esperanza nula se cumple tambi´en para procesos en H ,
pues usando probabilidad elemental, o por la desigualdad de Jensen,

0 E 2 I X I X k E I X I X k 2 0.

De donde se obtiene E I X I X k 0, es decir,

E I X l´ım E I X k 0.
k
De esta forma se tiene ahora la transformaci´on lineal y continua I : H 2
2
L P .Observe nuevamente que elmovimiento Browniano B t es un ejemplo
2
de un proceso en el espacio H ,y es posible demostrar que tal proceso puede
2
ser aproximado en el sentido de la norma del espacio L P dt por el
proceso simple
n 1
X t B t k 1 t ,
t k ,t k 1
k 0
en donde 0 t 0 t 1 t n T es una partici´on de 0,T .Se tiene
entonces la siguiente integral estoc´astica particular, y su aproximaci´on como
l´ımite en media cuadr´atica
T n 1
l´ım ,
B t dB t B t k B t k 1 B t k
0 n
k 0
en donde el l´ımite debe entenderse en el sentido de que la distancia m´axi-
ma entre dos puntos sucesivos de la partici´on tiende a cero. M´as adelante
calcularemos esta integral estoc´astica de dos maneras, primero usando esta
2
representaci´on como l´ımite en el espacio L P ,y despu´es usando la f´ormula
de Itˆo.

La integral como un proceso
Haremos ahora una peque˜na extensi´on. Para cada t en 0,T ypara cualquier
2
X en H se define el proceso
T t
I t X X s 1 0,t s dB s X s dB s .
0 0
Este peque˜no artificio permite ver a la integral estoc´astica no como una
variable aleatoria sino como un proceso. Es claro que tal proceso no es

✐ ✐

✐ ✐