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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 289 — #295
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9.3. Ecuaciones diferenciales estoc´asticas 289

9.3. Ecuaciones diferenciales estoc´asticas

Sea Ω, F,P un espacio de probabilidad, y sea B t : t 0 un movimiento
Browniano unidimensional adaptado a la filtraci´on F t t 0 .

Definici´on 9.4 Sean b t, x y σ t, x dos funciones de 0,T en .Una
ecuaci´on estoc´astica es una ecuaci´on de la forma

dX t b t, X t dt σ t, X t dB t , (9.10)
definida para valores de t en el intervalo 0,T ,y con condici´on inicial
la variable aleatoria X 0 que se presupone F 0 -medible e independiente del
movimiento Browniano. La ecuaci´on (9.10) se interpreta como la ecuaci´on
integral
t t
X t X 0 b s, X s ds σ s, X s dB s , (9.11)
0 0
en donde la primera es una integral de Riemann, mientras que lasegunda
es una integral estoc´astica de Itˆo. Al proceso X t se le llama proceso de
Itˆo.

Los elementos conocidos de esta ecuaci´on son los coeficientes b t, x y σ t, x ,
junto con la variable aleatoria inicial X 0 .La inc´ognita es elproceso X t .A
la funci´on b t, x se le conoce como coeficiente de tendencia (drift en ingl´es o
tambi´en deriva en espa˜nol). A la funci´on σ t, x se le llama coeficiente de di-
fusi´on. El proceso soluci´on puede interpretarse como el estado de un sistema
que evoluciona de manera determinista gobernado por la parteno aleatoria
de la ecuaci´on (la tendencia), pero alterado por un ruido aditivo dado por la
integral estoc´astica (la difusi´on). Para que una ecuaci´on estoc´astica tenga
soluci´on se deben pedir condiciones en los coeficientes. De manera an´alo-
ga para el caso de ecuaciones diferenciales deterministas, existen teoremas
b´asicos de existencia y unicidad para ecuaciones estoc´asticas que establecen
condiciones de regularidad para los coeficientes b t, x y σ t, x ,bajo las
cuales la ecuaci´on (9.10) tiene soluci´on ´unica. El siguiente es uno de tales
resultados.

Teorema 9.2 (Teorema de existencia y unicidad) Si los coeficientes
b t, x y σ t, x de la ecuaci´on (9.10) satisfacen la condici´on de Lipschitz en

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