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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 291 — #297
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9.3. Ecuaciones diferenciales estoc´asticas 291

forma de encontrar la soluci´on a una ecuaci´on estoc´asticadada, sino que ase-
gura ´unicamente la existencia de dicha soluci´on. La siguiente versi´on de la
f´ormula de Itˆo es un resultado bastante ´util para resolveralgunas ecuaciones
estoc´asticas y generaliza la versi´on anteriormente enunciada.

Teorema 9.3 (F´ormula de Itˆo) [II] Si X t es un proceso de Itˆo dado
2
1
por (9.10) y f t, x es un funci´on de clase C en t yde clase C en x,
entonces el proceso Y t f t, X t es tambi´en un proceso de Itˆo y satisface
la ecuaci´on estoc´astica
1
2
dY t f t t, X t dt f x t, X t dX t f xx t, X t dX t . (9.12)
2
Los sub´ındices indican derivada y la ecuaci´on (9.10)
se substituye en (9.12) usando la tabla de multipli- dt dB t
caci´on de McKean que se muestra en la Figura 9.4. dt 0 0
Observe que como las derivadas involucradas son dB t 0 dt
funciones continuas, las integrales estoc´asticas re-
sultantes est´an bien definidas. La demostraci´on de Figura 9.4
este resultado sigue las mismas l´ıneas que la ver-
si´on m´as simple. Ilustraremos a continuaci´on el uso de esta f´ormula con
varios ejemplos.

Ejemplo 9.7 Demostraremos que

t t
sdB s tB t B s ds.
0 0
Para verificar esta f´ormula puede tomarse el proceso X t B t yla funci´on
f t, x tx.Entonces,

1 2
d f t, B t f t t, B t dt f x t, B t dB t f xx t, B t dB t
2
d tB t B t dt tdB t .

Esta es la forma diferencial de la f´ormula enunciada.

x
Ejemplo 9.8 Considere la funci´on f x e . Por la f´ormula de Itˆo,
t 1 t
e B t e B 0 e B s dBs e B s ds,
0 2 0

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