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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 296 — #302
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296 9. C´ alculo estoc´ astico

con los de (9.13) se obtienen las igualdades

1
µf t, x f t t, x f xx t, x ,
2
σf t, x f x t, x .

De la segunda ecuaci´on se obtiene que f t, x exp σx g t ,para alguna
funci´on g t .Substituyendo en la primera ecuaci´on se obtiene g t µ
1 2 µ 1 2 f t, B t adquiere la
σ ,cuya soluci´on es g t
2 2 σ t.De donde X t
expresi´on indicada. Demostraremos ahora algunas caracter´ısticas num´ericas
de este proceso.

Proposici´on 9.2 Para el movimiento Browniano geom´etrico se cumple lo
siguiente:

µt
1. E X t x 0 e .

2
2 2µt
2. Var X t x e e σ t 1 .
0
2
2 µ s t
3. Cov X t ,X s x e e σ s 1 , para 0 s t.
0
Demostraci´on. Usaremos el hecho de que la funci´on generadora de mo-
σ s .
mentos de la distribuci´on N µ, σ 2 es M s exp µs 1 2 2
2
1. Para la esperanza se tiene que

1 2
E X t E x 0 exp µ σ t σB t
2
1
2
x 0 exp µ σ t E exp σB t
2
1 1
2
x 0 exp µ σ t exp tσ 2
2 2
µt
x 0 e .

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