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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 300 — #306
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300 9. C´ alculo estoc´ astico

c) Nuevamente usaremos la isometr´ıa de Itˆo. Para 0 s t,

Cov X t ,X s E X t X s E X t E X s
t
E x 0 e αt σ e α t u dB u
0
s
2
x 0 e αs σ e α s u dB u x e α t s
0
0
t s
2
σ E e α t u dB u e α s u dB u .
0 0
La primera integral puede descomponerse en la suma de dos integrales,
una sobre el intervalo 0,s yotra sobre s, t .Dada la propiedad
de incrementos independientes del movimiento Browniano, elsegundo
sumando desaparece. De modo que, por la isometr´ıa de Itˆo,

s
2
Cov X t ,X s σ e α t s E e αu dB u 2
0
s
2
σ e α t s e 2αu du
0
σ 2 α t s α t s
e e .
2α
!

Puente Browniano
El puente Browniano es un movimiento Browniano con espacio parametral
el intervalo unitario 0, 1 yes tal que en los extremos de este intervalo
el proceso se hace cero. Una trayectoria de tal proceso se muestra en la
Figura 9.8. Existen varias formas equivalentes de definir a este proceso, la
siguiente es una de ellas.

Definici´on 9.7 El puente Browniano en el intervalo 0, 1 es aquel proceso
X t : t 0, 1 soluci´on de la ecuaci´on estoc´astica

X t
dX t dt dB t , t 0, 1 , (9.18)
1 t
X 0 0.

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