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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 302 — #308
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302 9. C´ alculo estoc´ astico

Proposici´on 9.4 Para el puente Browniano dado por (9.19) se cumple

1. E X t 0.

2. Var X t t 1 t .

3. Cov X t ,X s s 1 t , para 0 s t 1.

Demostraci´on.

1. La integral es una martingala continua que inicia en cero, por lo tanto
E X t 0.
2. Por la isometr´ıa de Itˆo,

t 1
2
Var X t 1 t Var dB s
0 1 s
t 1
2
1 t E dB s 2
0 1 s
t 1
2
1 t E 2 ds
0 1 s
1 t
1 t 2
1 s
0
t 1 t .

3. Para 0 s t 1,

Cov X s ,X t E X s X t
s 1 t 1
1 s 1 t E dB u dB u .
0 1 u 0 1 u

Nuevamente la segunda integral puede descomponerse en la suma de dos
integrales, una sobre el intervalo 0,s yotra sobre s, t .Dada la propie-
dad de incrementos independientes del movimiento Browniano, el segundo

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