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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 299 — #305
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9.5. Algunos modelos particulares 299

Comparando con (9.15), las funciones a t y b t deben cumplir las ecua-
ciones
a t
α, a t b t σ.
a t
Suponiendo a 0 1se obtiene a t exp αt ,y b t σ exp αt .Subs-
tituyendo en (9.17) se obtiene (9.16). Calcularemos a continuaci´on la espe-
ranza y varianza de este proceso.

Proposici´on 9.3 Para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck se cumple lo si-
guiente.

a) E X t x 0 e αt .

σ 2 2αt
b) Var X t 1 e .
2α
σ 2 α t s α t s
c) Cov X t ,X s e e .
2α
Demostraci´on.

a) Este resultado se obtiene al tomar esperanza en (9.16), y observar que
la integral estoc´astica es una martingala que inicia en cero.

b) El c´alculo de la varianza de X t es una aplicaci´on de la isometr´ıa de
Itˆo,
t
2
Var X t σ Var e α t s dB s
0
t
2
σ E e α t s dB s 2
0
t
σ 2 e 2α t s ds
0
1 t
2
σ e 2αt e 2αs
2α 0
σ 2
1 e 2αt .
2α

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