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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 16 — #22
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16 2. Caminatas aleatorias

situaci´on se ilustra en la Figura 2.3(a), en donde p, q y r son probabilidades
tales que p q r 1. Tambi´en pueden considerarse caminatas aleatorias
2
en Z como la que se muestra en la Figura 2.3(b), en donde p q r s 1,
n
om´as generalmente en Z ocualquier otroconjuntoreticulado. Paraestos
yotros modelos pueden plantearse diversas preguntas sobre el c´alculo de
probabilidades de los distintos eventos en caminatas aleatorias. Existe una
amplia literatura sobre la teor´ıa y aplicaciones de las caminatas aleatorias,
el lector interesado en el tema puede consultar los textos sugeridos al final
del presente cap´ıtulo. M´as adelante estudiaremos algunasotraspropiedades
de las caminatas aleatorias en el contexto de las cadenas de Markov.

2.2. El problema del jugador

En esta secci´on consideraremos un ejemplo particular de unacaminata
aleatoria puesta en el contexto de un juego de apuestas.

Planteamiento del problema
Suponga que un jugador A apuesta sucesivamente una unidad monetaria a
un jugador B.Inicialmente eljugador A tiene k unidades y B tiene N
k unidades, es decir, el capital conjunto entre los dos jugadores es de N
unidades monetarias. En cada
apuesta el jugador A tiene pro-
X n
babilidad de ganar p,y proba- N
bilidad de perder q 1 p,
suponga adem´as que no hay em-
pates. Sea X n la fortuna del ju- k
gador A al tiempo n.Entonces
X n : n 0, 1,... es una ca- n
minata aleatoria que inicia en el τ
estado k yeventualmente puede Figura 2.4
terminar en el estado 0 cuando
el jugador A ha perdido todo su
capital, o bien, puede terminar
en el estado N que corresponde a la situaci´on en donde el jugador A ha
ganado todo el capital. Este proceso es entonces una caminataaleatoria so-
bre el conjunto 0, 1,... ,N ,en donde los estados 0 y N son absorbentes,

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