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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 18 — #24
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18 2. Caminatas aleatorias

forma siguiente:

u 2 u 1 q p u 1 1
u 3 u 2 q p 2 u 1 1
. . .

u k u k 1 q p k 1 u 1 1 .

Hemos usado aqu´ı la condici´on de frontera u 0 1. Conviene ahora definir
S k 1 q p q p k pues al sumar las k 1ecuaciones anteriores
se obtiene u k u 1 S k 1 1 u 1 1 .O bien,

u k 1 S k 1 u 1 1 . (2.13)
De manera an´aloga pero ahora sumando todas las ecuaciones de(2.12) se
obtiene u N 1 S N 1 u 1 1 .Usando la segunda condici´on de frontera
u N 0se llega a u 1 1 1 S N 1 .Substituyendo en (2.13) y simplificando
se llega a la soluci´on
S k 1
u k 1 .
S N 1
Es necesario ahora distinguir los siguientes dos casos:

k 1 si p 1 2,

S k 1 q p q p k 1 q p k 1
si p 1 2.
1 q p
Por lo tanto,
N k N si p 1 2,

u k q p k q p N (2.14)
si p 1 2.
1 q p N
En la Figura 2.5 se muestra la gr´afica de la probabilidad u k como funci´on
del par´ametro k para varios valores de p ycon N 50. En el caso sim´etrico
la soluci´on es la l´ınea recta que une la probabilidad 1 con laprobabilidad
0. Naturalmente la probabilidad de ruina decrece cuando el capital inicial
k aumenta. En la secci´on de ejercicios se sugiere otra forma deresolver la
ecuaci´on en diferencias (2.11).

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