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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 20 — #26
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20 2. Caminatas aleatorias
u k u k u k
1 1 1
k 5 p k 25 p k 45 p
1 2 1 1 2 1 1 2 1
Figura 2.6
Proposici´on 2.5 El n´umero esperado de apuestas antes de la ruina es
k N k si p q,
m k 1 1 q p k
k N si p q.
q p 1 q p N
Demostraci´on. Condicionando sobre el resultado de la primera apuesta
se obtiene que m k satisface la ecuaci´on
m k 1 pm k 1 qm k 1 ,
v´alida para k 1, 2,... ,N 1. Esta es una ecuaci´on en diferencias, de
segundo orden, lineal y no homog´enea. Las condiciones de frontera son ahora
m 0 0y m N 0. Substituyendo p q m k por m k yagrupando t´erminos
convenientemente la ecuaci´on anterior puede reescribirsedel siguiente modo:
q 1
m k 1 m k m k m k 1 . (2.15)
p p
k
Recordando la notaci´on S k 1 q p q p ,y substituyendo
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