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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 19 — #25
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2.2. El problema del jugador 19

u k
1
p 0.01
p 0.2
p 0.35
p 0.65 p 0.5
p 0.8
p 0.99
k
10 20 30 40 50

Figura 2.5

An´alisis de la soluci´on
Es interesante analizar la f´ormula (2.14) en sus varios aspectos. Por ejemplo,
para el caso sim´etrico p 1 2, es decir, cuando el juego es justo, la proba-
bilidad de ruina es muy cercana a 1 cuando k es muy peque˜no comparado
con N.Esto sugiere que no conviene jugar esta serie de apuestas contra
adversarios demasiado ricos, aun cuando el juego sea justo. Es tambi´en un
tanto inesperado observar que la probabilidad u k es muy sensible a los va-
lores de p cercanos a 1 2. Esto puede apreciarse en la Figura 2.6. Cuando p
es distante de 1 2la probabilidad u k es casi constante, pero para valores de
p cercanos a 1 2la probabilidad cambiar´apidamente de un extremoa otro.
Estas gr´aficas fueron elaboradas tomando N 50.

N´umero esperado de apuestas antes de la ruina
Hemos comprobado en el ejercicio anterior que con probabilidad uno ocurre
que eventualmente alguno de los dos jugadores se arruina. Es natural en-
tonces plantearse el problema de encontrar el tiempo promedio que transcu-
rre antes de observar la eventual ruina de alguna de las partes. Este n´umero
de apuestas promedio antes de la ruina puede encontrarse expl´ıcitamente, y
el m´etodo que usaremos para encontrarlo es nuevamente el planteamiento
de una ecuaci´on en diferencias que resolveremos del modo mostrado antes.
Sea entonces m k el n´umero esperado de apuesta antes de que termine el
juego, en donde el jugador A tiene un capital inicial de k unidades, y B
tiene N k.

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