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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 15 — #21
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2.1. Caminatas aleatorias 15

De donde se obtiene finalmente

G t 1 1 4pqt 2 1 2 . (2.10)

Usando esta expresi´on podemos ahora calcular la probabilidad de un
eventual regreso al estado inicial. En efecto, por el lema de Abel,

f n l´ım G t 1 1 4pq 1 2 1 p q .
t 1
n 0
En el caso asim´etrico, p 1 2, esta cantidad es estrictamente menor
auno y por lo tanto no hay seguridadde que lacaminata seacapaz
de regresar al origen. En cambio, en el caso sim´etrico, p 1 2, esta
cantidad vale uno, es decir, con probabilidad uno la cadena aleatoria
sim´etrica regresa eventualmente a su posici´on de origen. Adem´as, el
tiempo promedio de regreso se obtiene derivando la funci´on generadora
G t 1 1 t 2 1 2 ,es decir,

t
nf n l´ım G t l´ım .
t 1 t 1 1 t 2
n 0
!

1
r
q p r p

1 1
1 0 1 q
s
1
(a) (b)

Figura 2.3

Puede considerarse tambi´en el caso de una caminata en donde sea posible
permanecer en el mismo estado despu´es de una unidad de tiempo. Esta

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