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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 17 — #23
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2.2. El problema del jugador 17

pues una vez que la cadena llega a alguno de ellos, jam´as lo abandona. Una
posible trayectoria cuando la caminata se absorbe en el estado 0 se muestra
en la Figura 2.4. Una de las preguntas que resolveremos para esta caminata
es la siguiente: ¿cu´al es la probabilidad de que eventualmente el jugador A
se arruine? Es decir, ¿cu´al es la probabilidad de que la caminata se absorba
en el estado 0 y no en el estado N,u oscile entre estos dos estados? Este
problema se conoce como el problema de la ruina del jugador, y encon-
traremos a continuaci´on su soluci´on. Como veremos, usandoprobabilidad
condicional es posible transformar este problema en resolver una ecuaci´on
en diferencias.

Soluci´on al problema
Sea τ el primer momento en el que la caminata visita alguno de los dos
estados absorbentes, es decir, τ m´ın n 0: X n 0´o X n N .Puede
demostrarse que τ es una variable aleatoria y que es finita casi seguramente.
La pregunta planteada se traduce en encontrar la probabilidad

u k P X τ 0 X 0 k .

Por el teorema de probabilidad total se obtiene la ecuaci´on en diferencias

u k pu k 1 qu k 1 , (2.11)

v´alida para k 1, 2,... ,N 1. La interpretaci´on intuitiva de esta identidad
es sencilla: a partir del estado k se busca la probabilidad de ruina analizando
lo que sucede en la siguiente apuesta. Se tienen dos casos: el jugador gana
con probabilidad p yahora se busca la probabilidad de ruina a partir del
estado k 1, o bien el jugador pierde con probabilidad q yse busca la
probabilidad de ruina ahora a partir del estado k 1. Las condiciones de
frontera son u 0 1y u N 0. Esta ecuaci´on es una ecuaci´on en diferencias,
lineal, de segundo orden y homog´enea. Puede encontrarse su soluci´on de
la siguiente forma: multiplicando el lado izquierdo de (2.11) por p q y
agrupando t´erminos se llega a la expresi´on equivalente

u k 1 . (2.12)
u k 1 u k q p u k
Resolviendo iterativamente, las primeras k 1ecuaciones se escribende la

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