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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 11 — #17
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2.1. Caminatas aleatorias 11

Esta f´ormula puede tambi´en justificarse mediante argumentos de an´alisis
n
combinatorio de la siguiente forma: en total hay 2 posibles trayectorias
que la caminata puede seguir al efectuar n pasos, todas ellas con la mis-
ma probabilidad de ocurrir debido a la simetr´ıa. Ahora, ¿cu´antas de estas
trayectorias terminan en x 0, por ejemplo? Como se ha argumentado
antes, el n´umero de pasos a la derecha debe ser 1 n x ,y eln´umero de
2
trayectorias que cumplen la condici´on es el n´umero de formas en que los
1 n x pasos a la derecha pueden escogerse de los n pasos totales. La res-
2
puesta es entonces el cociente que aparece en (2.2). La f´ormula (2.1) puede
extenderse f´acilmente al caso general de pasar de un estado cualquiera y a
otro estado x en n pasos, como se muestra a continuaci´on.

Proposici´on 2.3 Si los n´umeros n y x y son ambos pares o ambos im-
pares, entonces para n x y n,

n 1 n x y 1 n x y
P X n x X 0 y 1 n x y p 2 q 2 . (2.3)
2
Para valores de la diferencia x y yel entero n que no cumplen las condi-
ciones indicadas la probabilidad en cuesti´on vale cero.

Demostraci´on. Tenemos como hip´otesis que X 0 y.Consideremos el
proceso Z n X n y.Entonces Z n : n 0 es ahora una caminata aleatoria
que inicia en cero como en el caso antes demostrado. El resultado enunciado
se obtiene de la identidad

P X n x X 0 y P Z n x y Z n 0 .

!

Probabilidad de regreso a la posici´on de origen
Nos plantearemos ahora el problema de encontrar la probabilidad de que
una caminata aleatoria, que inicia en el origen, regrese eventualmente al
punto de partida. Demostraremos que en el caso asim´etrico, p 1 2, la
probabilidad de tal evento es estrictamente menor que 1, es decir, no es
seguro que ello ocurra, pero en el caso sim´etrico, p 1 2, se cumple que
con probabilidad uno la caminata regresa eventualmente al origen. Para el

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