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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 225 — #231
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7.10. Representaci´ on de martingalas 225

Integrabilidad uniforme
Puede comprobarse que una variable aleatoria X es integrable si, y s´olo si,
para cada ϵ 0puede encontrarse un n´umero M 0tal que

X dP ϵ.
X M
Considere ahora una sucesi´on infinita de variables aleatorias integrables
X 1 ,X 2 ,... Para cada ϵ 0puede encontrarse entonces una sucesi´onde
n´umeros reales M n 0tales que

X n dP ϵ.
X n M n
Cuando la sucesi´on M n no depende de n,es decir, cuando sea una sucesi´on
constante, se dice que la sucesi´on de variables aleatorias es uniformemente
integrable. Es evidente que la integrabilidad uniforme es m´as fuerte que la
simple integrabilidad de las variables de un proceso. Tenemos entonces la
siguiente definici´on, la cual ilustraremos despu´es con un par de ejemplos.

Definici´on 7.7 Se dice que una sucesi´on de variables aleatorias integrables
X 1 ,X 2 ,... es uniformemente integrable si para cada ϵ 0 existe un n´umero
M 0 tal que para toda n 1,

X n dP ϵ.
X n M
Ejemplo 7.4 Considere el espacio muestral Ω 0, 1 con la σ-´algebra los
subconjuntos de Borel de 0, 1 ,y como medida de probabilidad la medida de
Lebesgue sobre dicho intervalo. La sucesi´on de variables aleatorias dada por
X n n 1 0,1 n no es uniformemente integrable pues para cualquier M 0,

1 si n M,
X n dP
X n M 0 si n M.
Ejemplo 7.5 Sea X una variable aleatoria integrable y sea F n una fil-
traci´on. Demostraremos que la martingala X n E X F n es uniforme-
mente integrable. Como X es integrable, tenemos que para cada ϵ 0
existe δ 0 tal que si P A δ,entonces X dP ϵ.Adem´as, como
A

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