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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 224 — #230
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224 7. Martingalas

Por lo tanto es suficiente demostrar que con probabilidad uno, D a, b .
Para llegar a esta conclusi´on demostraremos que E D a, b ,pero ello
es consecuencia del teorema de convergencia mon´otona y la Proposici´on 7.5
pues,

E D a, b l´ım E D n a, b
n
1
sup E X n b .
b a n
La integrabilidad del l´ımite X se sigue del lema de Fatou pues,

E X E l´ım inf X n l´ım inf E X n sup E X n .
n n n

!

Como toda martingala es una submartingala, y toda supermartingala se
convierte en una submartingala a trav´es de un cambio de signo, se tiene
que el teorema anterior es v´alido en cualquiera de los tres casos. Es decir,
toda martingala, submartingala o supermartingala acotada en la forma en
la que indica el enunciado del teorema es convergente casi seguramente, y
su l´ımite es una variable aleatoria integrable.
La demostraci´on que se ha presentado aqu´ı sobre la convergencia de sub-
martingalas es la prueba original de Doob de 1940. En [12] pueden encon-
trarse algunos otros m´etodos alternativos de demostraci´on. Como hemos
mencionado, las submartingalas son procesos que tienen trayectorias que en
promedio tienden a crecer, v´ease la ecuaci´on (7.2), de modoque en este caso
hemos encontrado una cota superior para el n´umero promedio de cruces ha-
cia abajo. En algunos textos, por ejemplo [3], se enuncia y prueba el mismo
resultado para supermartingalas, procesos cuyas trayectorias en promedio
tienden a decrecer.

7.10. Representaci´on de martingalas

En esta secci´on demostraremos que toda martingala que cumple la condici´on
de ser uniformemente integrable puede escribirse en t´erminos de una espe-
ranza condicional. Antes de enunciar el resultado explicaremos la condici´on
de integrabilidad uniforme para un proceso.

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