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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 223 — #229
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7.9. Convergencia de martingalas 223

desigualdad. La segunda desigualdad del enunciado se sigue de las siguientes
estimaciones:

X n b X n b X n b .
!

Ahora estamos en condiciones de probar que toda submartingala acotada
en media es convergente.

Teorema 7.2 (Teorema de convergencia de submartingalas de Doob)
Sea X n : n 0 una submartingala tal que sup E X n .Entonces
n
existe una variable aleatoria integrable X tal que

l´ım X n X c.s.
n
Demostraci´on. Verificaremos primero que la convergencia de tal suce-
si´on de variables aleatorias es equivalente a la condici´on: D a, b casi
seguramente, para cualesquiera n´umeros a b.Sea ω en Ω yconsidere la
sucesi´on num´erica X 1 ω ,X 2 ω ,... cuyo n´umero de cruces es D a, b ω .
Demostraremos que la sucesi´on X n ω : n 1 es convergente si, y s´olo si,
D a, b ω ,para cualesquiera a b.

Suponga que la sucesi´on es convergente pero que D a, b ω para
alg´un par de n´umeros a y b tales que a b.Entonces,

l´ım inf X n ω a b l´ım sup X n ω .
n n

Esto contradice la hip´otesis de que la sucesi´on es convergente.

Suponga ahora que D a, b ω para cualesquiera a b.Suponga

que la sucesi´on no es convergente. Entonces existen a 1 b 1 tales que
l´ım inf X n ω a 1 b 1 l´ım sup X n ω .
n n
Entonces, en particular, para este par de n´umeros reales se tiene que
D a 1 ,b 1 ω ,lo cual contradice la hip´otesis inicial.

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