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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 227 — #233
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7.10. Representaci´ on de martingalas 227

demuestra la integrabilidad uniforme de las variables X n para valores de n
menores o iguales a N.Para elcaso n N se tiene que

X n dP X dP X n X dP
X n M X n M X n M
X dP E X n X
X n M
ϵ ϵ
ϵ.
2 2

!

El siguiente resultado es un rec´ıproco de la proposici´on anterior, s´olo que
hay que a˜nadir la condici´on de que el proceso sea una submartingala, en
particular, una martingala.

Proposici´on 7.7 Toda submartingala uniformemente integrable es conver-
gente en media.

Demostraci´on. Sea X n : n 1 una submartingala uniformemente inte-
grable. Hemos demostrado antes que en tales condiciones la submartingala
1
es necesariamente acotada en L ,y por lo tanto satisface las condiciones
del teorema de convergencia de martingalas de Doob. Existe entonces una
X c.s. Demostraremos que
variable aleatoria integrable X tal que X n
X n X en media, es decir, que E X n X 0. Sea ϵ 0arbitrario.
Debido a la hip´otesis de integrabilidad uniforme, existe M 0tal que para
toda n 1,
ϵ
X n X dP .
X n X M 3
Por otro lado, como la convergencia casi segura implica la convergencia en

probabilidad se tiene que P X n X ϵ 3 0, cuando n ,es decir,
existe un entero N tal que para n N,

ϵ
P X n X ϵ 3 ,
3M

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