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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 127 — #133
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4.2. Definiciones alternativas 127

Definici´on 4.3 (Tercera definici´on) Un proceso de Poisson de par´ametro
λ 0 es un proceso a tiempo continuo X t : t 0 con espacio de estados
0, 1,... ,con trayectorias no decrecientes y que cumplelas siguientes pro-
piedades:

a) X 0 0.
b) Tiene incrementos independientes.
c) X t s X s Poisson λt , para cualesquiera s 0, t 0.

Esta es posiblemente la definici´on del proceso de Poisson quecon m´as fre-
cuencia se puede encontrar en las referencias. A partir de ella inmediata-
mente sabemos que la variable X t tiene distribuci´on Poisson λt .La inde-
pendencia de los incrementos es expl´ıcita, y la estacionariedad de los mis-
mos aparece de manera impl´ıcita en el tercer postulado. Parademostrar
la equivalencia con la definici´on 4.1, el reto consiste en definir los tiempos
de interarribo y demostrar que ´estos son variables aleatorias independientes
con distribuci´on exponencial λ .

Proposici´on 4.7 Las definiciones del proceso de Poisson 4.1, 4.2 y 4.3 son
equivalentes.

Demostraci´on. Hemos demostrado que Def. 4.2 Def. 4.3 .El
rec´ıproco es inmediato, pues la propiedad de incrementos independientes
yestacionarios aparecen en ambas definiciones, ypara cualquier t 0y
h 0,

1 1 0
P X t h X t P X t h X t
1 e λh
1 1 λh o h
λh o h .

An´alogamente

P X t h X t 2 1 P X t h X t 0 P X t h X t 1
1 e λh e λh λh
1 1 λh o h λh o h
o h .

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