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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 125 — #131
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4.2. Definiciones alternativas 125
indicado, pues de esa forma las expresiones en par´entesis van desapareciendo
sucesivamente. !
La f´ormula anterior nos provee de un mecanismo para obtener simulaciones
por computadora de las trayectorias del proceso Poisson. El procedimiento
es el siguiente: se fija un valor t yse asigna un valor para λ.Se genera un
valor al azar de la variable X t con distribuci´on Poisson λt .Suponga que
X t n.Acontinuaci´on se generan n valores u 1 ,... ,u n de la distribuci´on
unif 0,t ,y se ordenan estos valores de menor a mayor: u 1 u n .
Estos son los tiempos en donde la trayectoria tiene saltos. Deesta forma
pueden obtenerse trayectorias como la que se muestra en la Figura 4.2.
4.2. Definiciones alternativas
La Definici´on 4.1 de proceso de Poisson es constructiva pues apartir de los
tiempos de interarribo se construye el proceso de conteo correspondiente.
Existen otras formas equivalentes y un tanto axiom´aticas dedefinir a este
proceso. Revisaremos y comentaremos a continuaci´on dos de ellas. Una de
las ventajas de contar con estas definiciones alternativas esque para de-
mostrar que un cierto proceso es de Poisson se puede tomar cualquiera de
las definiciones a conveniencia.
Definici´on 4.2 (Segunda definici´on) Un proceso de Poisson de par´a-
metro λ 0 es un proceso a tiempo continuo X t : t 0 ,con espacio de
estados 0, 1,... ,y que cumplelas siguientes propiedades:
a) X 0 0.
b) Tiene incrementos independientes y estacionarios.
c) Para cualquier t 0,y cuando h 0,
i) P X t h X t 1 λh o h .
ii) P X t h X t 2 o h .
Esta definici´on hace uso de las probabilidades infinitesimales del proceso y
ello tiene algunas ventajas desde el punto de vista de la interpretaci´on de
lo que sucede en un intervalo infinitesimal de tiempo t, t h .El proceso
empieza en cero y por el tercer postulado la probabilidad de que pase al
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