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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 124 — #130
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124 4. El proceso de Poisson

Demostraci´on. La f´ormula general para la funci´on de densidad conjunta
de las estad´ısticas de orden Y 1 ,... ,Y n de una muestra aleatoria Y 1 ,... ,Y n
y n ,
de una distribuci´on con funci´on de densidad f y es, para y 1
y 1 ,... ,y n n! f y 1 f y n .
f Y 1 ,...,Y n
Cuando la funci´on de densidad f y es la uniforme en el intervalo 0,t ,esta
funci´on de densidad conjunta es la que aparece en el enunciado. Demostrare-
mos que la distribuci´on conjunta de las variables W 1 ,... ,W n ,condicionada

al evento X t n tambi´en tiene esta misma funci´on de densidad. Usaremos
nuevamente la identidad de eventos X t n W n t .Para tiempos
0 w 1 w n t,la funci´on de densidad conjunta condicional

f w 1 ,... ,w n n
W 1,...,W n X t
se puede obtener a trav´es de las siguientes derivadas
n
P W 1 w 1 ,W 2 w 2 ,... ,W n w n X t n
w 1 w n
n
n X t n
P X w 1 1,X w 2 2,... ,X w n
w 1 w n
n
P X t X w n 0,X w n X w n 1 1,...
w 1 w n
... ,X w 2 X w 1 1,X w 1 1 P X t n
n
e λ t w n e λ w n w n 1 λ w n w n 1
w 1 w n
e λ w 2 w 1 λ w 2 w 1 e λw 1 λw 1 e λt λt n n!
n
n! w n w n 1 w 2 w 1 w 1 t n
w 1 w n
n
n! t .

Observe que bajo el signo de derivada, la probabilidad del evento X w 1
1,X w 2 2,... ,X w n n, X t n ,que aparece en la primera igualdad, es
id´entica a la probabilidad de X t X w n 0,X w n X w n 1 1,... ,X w 2
1 ,pues si alguna de estas identidades (exceptuando la
X w 1 1,X w 1
primera) fuera distinta de uno, la derivada se anula. Observaadem´as para
la ´ultima igualdad que es preferible llevar a cabo la derivaci´on en el orden

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