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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 122 — #128
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122 4. El proceso de Poisson

esto es,

X 0 Y 0
0,t 1 0,t 1
X 0 Y 0
T 1 ,T 1 t 2 T 1 ,T 1 t 2

X 0 Y 0 .
T n 1 ,T n 1 t n T n 1 ,T n 1 t n
Por la independencia de los procesos, la propiedad de incrementos indepen-
dientes de cada uno de ellos, y el resultado del Ejemplo 4.2, laprobabilidad
de este evento es

P X 0 P Y 0
0,t 1 0,t 1
P X 0 P Y 0
T 1 ,T 1 t 2 T 1 ,T 1 t 2

P X 0 P Y 0 .
T n 1 ,T n 1 t n T n 1 ,T n 1 t n
Por lo tanto,
P T 1 t 1 ,T 2 t 2 ,... ,T n t n e λ 1 λ 2 t 1 e λ 1 λ 2 t 2 e λ 1 λ 2 t n .
Esta identidad demuestra que las variables T 1 ,T 2 ,... ,T n son independientes
λ 2 .
con id´entica distribuci´on exp λ 1

Distribuciones asociadas al proceso de Poisson
Adem´as de las distribuciones exponencial y gama ya mencionadas, existen
otras distribuciones de probabilidad que surgen al estudiarciertas carac-
ter´ısticas del proceso de Poisson. Por ejemplo, el siguiente resultado es-
tablece una forma de obtener la distribuci´on binomial a partir del proceso
de Poisson. Suponga que durante el intervalo de tiempo 0,t se han obser-

vado n ocurrencias del evento de inter´es, es decir, el evento X t n ha
ocurrido. La pregunta es, ¿cu´antos de estos eventos ocurrieron en el subinter-
valo 0,s ?Demostraremos a continuaci´on que esta variable aleatoriatiene
distribuci´on binomial n, s t .

Proposici´on 4.4 Sean s y t tiempos tales que 0 s t,y sean k y n
enteros tales que 0 k n.Entonces
n s k s n k
P X s k X t n 1 .
k t t

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