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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 119 — #125
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4.1. Definici´ on 119

Lo que hemos demostrado en la Proposici´on 4.2 es que no solamente la va-
riable X t del proceso de Poisson tiene distribuci´on Poisson λt ,sino tambi´en
X s tienen distribuci´on Poisson, ahora con par´ametro
los incrementos X t
λ t s ,cuando 0 s t.De la propiedad de p´erdida de memoria pueden
derivarse todas las propiedades del Proceso de Poisson, incluida la propiedad
de Markov, la cual demostraremos a continuaci´on.

Proposici´on 4.3 El proceso de Poisson X t : t 0 satisface las siguientes
propiedades.

a) Es un proceso de Markov.

b) Tiene incrementos independientes.

c) Tiene incrementos estacionarios.

d) Para cualesquiera s, t 0,y enteros 0 i j,las probabilidades de
transici´on son

λt j i
λt
P X t s j X s i e . (4.2)
j i !
Demostraci´on.
a) Considere las probabilidades condicionales

x n 1 ,
P X t n x n X t 1 x 1 ,... ,X t n 1
y P X t n x n X t n 1 x n 1 ,

para cualesquiera n tiempos 0 t 1 t 2 t n ,y cualesquiera estados
0 x 1 ... x n .En ambos casos se establece que altiempo t n 1 ha habido
x n 1 ocurrencias del evento de inter´es. A partir de ese momento inicia un
nuevo proceso de Poisson y para que al tiempo t n hayan x n ocurrencias
es necesario que en el intervalo de tiempo t n 1 ,t n hayan ocurrido x n
x n 1 eventos. Ambas probabilidades coinciden entonces con la probabilidad
x n x n 1 yello demuestra la propiedad de Markov.
P X t n X t n 1
b) Considere cualesquiera n tiempos 0 t 1 t 2 t n ,y cualesquiera
estados x 1 ,... ,x n .Por comodidad llamaremos s n ala suma x 1 x n ,

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