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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 117 — #123
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4.1. Definici´ on 117

de este proceso es que puede encontrarse expl´ıcitamente la distribuci´on de
probabilidad de la variable X t para cualquier valor de t 0. La respuesta
es la distribuci´on Poisson, y de all´ı el proceso adquiere sunombre.

Proposici´on 4.1 La variable X t tiene distribuci´on Poisson λt ,es decir,
para cualquier t 0,y para n 0, 1,...

λt n
λt
P X t n e .
n!
Demostraci´on. Como W n tiene distribuci´on gama n, λ ,su funci´on de
distribuci´on es, para t 0,
n 1 λt k
P W n t 1 e λt .
k!
k 0
Entonces para cualquier t 0y para cada n 0, 1,...

P X t n P X t n P X t n 1
P W n t P W n 1 t
λt k
e λt .
k!
!

Entonces, dado que X t tiene una distribuci´on Poisson λt ,se tiene que

E X t λt,y Var X t λt.Por lo tanto λt es el promedio de obser-
vaciones o registros del evento de inter´es en el intervalo 0,t .As´ı,mientras
mayor es la longitud del intervalo de observaci´on, mayor es el promedio de
observaciones realizadas, y mayor tambi´en la incertidumbre del n´umero de
observaciones.

P´erdida de memoria y sus consecuencias
Una de las propiedades que caracterizan de manera ´unica a la distribuci´on
exponencial dentro del conjunto de distribuciones absolutamente continuas
es que satisface la propiedad de p´erdida de memoria, esto es,si T tiene
distribuci´on exp λ ,entonces para cualesquiera tiempos s, t 0se cumple
la igualdad
P T t s T s P T t .

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