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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 126 — #132
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126 4. El proceso de Poisson

estado uno al final de un intervalo de tiempo peque˜no 0,h es λh o h ,la
probabilidad de que el proceso no tenga ning´un cambio en dicho intervalo
es 1 λh o h ,y finalmente la probabilidad de que el proceso tenga dos o
m´as incrementos en tal intervalo es o h .Es decir, en un intervalo cualquiera
de longitud infinitesimal h s´olo pueden ocurrir dos situaciones: que haya un
incremento o que no lo haya.

Ejemplo 4.4 Demostraremos que la variable X t s X s tiene distribuci´on
Poisson λt apartir de los postulados de laDefinici´on 4.2. Se define p n t
P X t n yse considera cualquier h 0.Denotaremos por p n t, t h a
la probabilidad P X t h X t n .Por la hip´otesis de independencia, para
t 0 ycuando h 0,

p 0 t h p 0 t p 0 t, t h
p 0 t 1 λh o h .

Haciendo h 0 se obtiene la ecuaci´on diferencial
p t λ p 0 t ,
0
cuya soluci´on es p 0 t ce λt ,en donde la constante c es uno por la condi-
ci´on inicial p 0 0 1.Ahora encontraremos p n t para n 1.Nuevamente
por independencia,

p n t h p n t p 0 t, t h p n 1 t p 1 t, t h o h
p n t 1 λh o h p n 1 t λh o h o h .

Haciendo h 0 se obtiene
p t λ p n t λ p n 1 t ,
n
λt
con condici´on inicial p n 0 0 para n 1.Definiendo q n t e p n t
la ecuaci´on diferencial se transforma en q t λ q n 1 t ,con condiciones
n
q n 0 0 y q 0 t 1.Esta ecuaci´on se resuelve iterativamente primero para
q 1 t ,despu´es para q 2 t ,y as´ı sucesivamente, en general q n t λt n n!
Por lo tanto,
p n t e λt λt n n!

Esto significa que X t tiene distribuci´on Poisson λt .Debido al postulado de
incrementos estacionarios, la variable X t s X s tiene la misma distribuci´on
que X t .

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