Page 139 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 131 — #137
✐ ✐

4.3. Proceso de Poisson no homog´ eneo 131

Demostraci´on. Se escribe X t s X s X t s X s ,en donde,por el
axioma de incrementos independientes, en el lado derecho aparece la suma
de dos variables aleatorias independientes. Recordando quela funci´on gene-
radora de momentos de la distribuci´on Poisson λ es M r exp λ e r 1 ,
al aplicar este resultado a la ecuaci´on anterior se obtiene

exp Λ t s e r 1 exp Λ s e r 1 M X t s X s r .

r exp Λ t s Λ s e r 1 . !
Por lo tanto, M X t s X s
Si la funci´on λ t es constante igual a λ,entonces Λ t λt,y se recupera
el proceso de Poisson homog´eneo. Cuando λ t es continua, Λ t es diferen-
ciable y por lo tanto Λ t λ t .Ala funci´on Λ t se le llama funci´on de
intensidad y a λ t se le conoce como funci´on de valor medio. A un proceso
de Poisson no homog´eneo en donde Λ t : t 0 es un proceso estoc´astico
se le llama proceso de Cox.
El siguiente resultado establece que bajo una transformaci´on del par´ametro
tiempo, un proceso de Poisson no homog´eneo puede ser llevadoa un proceso
de Poisson homog´eneo de par´ametro uno. Antes de demostrar este resultado
observemos que como la funci´on t λ t es positiva, la funci´on de intensi-
dad Λ t es continua y no decreciente, y en general no es invertible. Puede
definirse, sin embargo, la inversa por la derecha

Λ 1 t ´ınf u 0: Λ u t ,

que cumple la identidad Λ Λ 1 t t,y que es una funci´on continua y
creciente.

Proposici´on 4.10 Sea X t : t 0 un proceso de Poisson no homog´eneo
de par´ametro λ t ,y funci´on de intensidad Λ t t λ s ds.Defina la
0
funci´on
Λ 1 t ´ınf u 0: Λ u t .

Entonces el proceso X Λ 1 t : t 0 es un proceso de Poisson homog´eneo
de par´ametro λ 1.

Demostraci´on. Usaremos la Definici´on 4.3 del proceso de Poisson. El
proceso X Λ 1 t : t 0 empieza en cero y tiene incrementos independien-
tes, pues si se consideran cualesquiera tiempos 0 t 1 t 2 t n ,

✐ ✐

✐ ✐