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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 132 — #138
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132 4. El proceso de Poisson

bajo la funci´on creciente Λ 1 t estos tiempos se transforman en una nueva
colecci´on mon´otona de tiempos

0 Λ 1 t 1 Λ 1 t 2 Λ 1 t n .

Por lo tanto las siguientes variables son independientes

X Λ 1 t 1 ,X Λ 1 t 2 X Λ 1 t 1 ,... ,X Λ 1 t n X Λ 1 t n 1

Finalmente, para cualesquiera tiempos s, t 0el incremento X Λ 1 t s
X Λ 1 s tiene distribuci´on Poisson de par´ametro

Λ Λ 1 t s Λ Λ 1 s t s s t.

!

Pueden definirse los tiempos de interarribo T 1 ,T 2 ,...,y los tiempos de saltos
W 1 ,W 2 ,... para un proceso de Poisson no homog´eneo de manera an´aloga
al caso homog´eneo. Por hip´otesis los incrementos de este proceso son inde-
pendientes, sin embargo, debido a que el par´ametro λ t es una funci´on del
tiempo, los tiempos de interarribo T 1 ,T 2 ,... no son independientes pues,
por ejemplo, T 2 depende de λ t para valores de t mayores a T 1 .Y por las
mismas razones las distribuciones de estas variables no son id´enticas.

4.4. Proceso de Poisson compuesto

Esta es una de las generalizaciones del proceso de Poisson m´as conocidas y
de amplia aplicaci´on. La generalizaci´on consiste en que ahora los saltos ya
no son necesariamente unitarios.

Definici´on 4.5 Sea N t : t 0 un proceso de Poisson y sea Y 1 ,Y 2 ,... una
sucesi´on de variables aleatorias independientes, id´enticamente distribuidas
eindependientes del proceso Poisson. Sea Y 0 0.El proceso dePoisson
compuesto se define de la siguiente forma:

N t
X t Y n . (4.3)
n 0

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