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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 133 — #139
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4.4. Proceso de Poisson compuesto 133

Observe que la variable X t del proceso de Poisson compuesto es una suma
de variables aleatorias en donde el n´umero de sumandos es aleatorio. Tal
tipo de modelos encuentra aplicaci´on natural en distintos contextos. Por
ejemplo, la variable X t puede interpretarse como el monto total de recla-
maciones recibidas por una compa˜n´ıa aseguradora al tiempo t.Elpro-
ceso de Poisson determina el n´umero de siniestros o reclamaciones efec-
tuadas hasta un momento cualquiera. La variable Y n representa el mon-
to de la n-´esima reclamaci´on y es natural suponer Y n 0, para n 1.
En la Figura 4.6 se muestra una
trayectoria de este proceso y en el
X t ω
siguiente resultado se presentan al-
gunas de sus propiedades b´asicas.
Y 3
Este proceso es un ejemplo de pro-
ceso de Markov a tiempo continuo Y 2
como los que estudiaremos en el si- Y 1
guiente cap´ıtulo. Cuando las varia- t
bles Y 1 ,Y 2 ,... toman valores en el
conjunto 1, 2,... se dice que este Figura 4.6
proceso es un proceso de Poisson
generalizado, pues los saltos ya no son necesariamente unitarios. Observe
que si las variables Y 1 ,Y 2 ,... son todas id´enticamente uno, el proceso de
Poisson compuesto se reduce al proceso de Poisson.

Proposici´on 4.11 El proceso de Poisson compuesto (4.3) cumple las si-
guientes propiedades:
1. Tiene incrementos independientes y estacionarios.

λ tE Y .
2. E X t
3. Var X t λ tE Y 2 .

4. Cov X t ,X s λ E Y 2 m´ın s, t .
5. La funci´on generadora de momentos de la variable X t es
u E e uX t exp λt M Y u 1 .
M X t
Estos resultados se obtienen condicionando sobre el valor de N t .En elejer-
cicio 135 se pide dar los detalles de estas demostraciones.

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