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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 138 — #144
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138 4. El proceso de Poisson

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λ e λw 2 si 0 w 1 w 2 ,
a) f W 1,W 2 w 1 ,w 2
0 otro caso.

1 w 2 si w 1 0,w 2 ,
b) f w 1 w 2
W 1 W 2
0 otro caso.
λe λ w 2 w 1 si w 2 w 1 , ,
c) f w 2 w 1
W 2 W 1
0 otro caso.

116. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ.Sea T una
variable aleatoria con distribuci´on exp θ eindependiente del proceso
de Poisson. Encuentre la funci´on de densidad de la variable X T .

117. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ.Sean r y n
dos enteros tales que 1 r n,y sea t 0. Suponga que el evento
X t n ocurre. Encuentre la densidad condicional de W r .

118. Sean X 1 t : t 0 y X 2 t : t 0 dos procesos de Poisson
independientes con par´ametros λ 1 y λ 2 respectivamente. Calcule la
probabilidad de que:

a) X 1 t 1antes que X 2 t 1.
b) X 1 t 2antes que X 2 t 2.

119. Suponga que un cierto aparato el´ectrico sufre desperfectos a lo largo
del tiempo de acuerdo a un proceso de Poisson de par´ametro λ.Supon-
ga que cada vez que el aparato se descompone es enviado a reparaci´on
ydespu´es es puesto en funcionamiento nuevamente. Suponga adem´as
que el aparato se reemplaza completamente por uno nuevo cuando el
tiempo que transcurre entre dos descomposturas sucesivas esmenor o
igual a una cierta constante a 0, incluyendo el tiempo antes de la
primera reparaci´on. Encuentre la funci´on de densidad del

a) Tiempo de vida ´util del equipo antes de ser reemplazado.

b) N´umero de reparaciones antes de realizar el reemplazo.
120. Suponga que un cierto circuito recibe impulsos el´ectricos de acuerdo a
un proceso de Poisson de par´ametro λ.Suponga adem´as que elcircuito

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