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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 141 — #147
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4.6. Ejercicios 141

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b) Demuestre que para cada t 0las variables aleatorias X y
t
2
X t son independientes.
Distribuciones asociadas al proceso de Poisson

130. Sea t 0 un tiempo positivo fijo y suponga que hasta ese momento se ha
1.
observado un solo evento de un proceso de Poisson, es decir, X t 0
La pregunta es ¿cu´ando ocurri´o tal evento? Demuestre que, condi-
1 ,la distribuci´on delmomento en elque se
cionado al evento X t 0
ha registrado el evento es uniforme en el intervalo 0,t 0 .
131. Sea X t : t 0 un proceso Poisson de tasa λ ysean dos tiempos
0 s t.Defina la variable X s,t como el n´umero de eventos del
proceso de Poisson que ocurren en el intervalo s, t .Demuestre que,

condicionada a la ocurrencia del evento X t n ,la variable X s,t
tiene distribuci´on binomial n, 1 s t .
132. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ.Suponga que
para un tiempo fijo t 0se observa el evento X t n ,con n 1.

a) Demuestre que la funci´on de densidad del momento en el que
ocurre el k-´esimo evento 1 k n ,condicionada al evento

X t n ,es la siguiente: para s 0,t ,
n k s k 1 s n k
f s n 1 .
W k X t
k t t t
b) Demuestre que la funci´on de densidad condicional del cociente
W k t,dado el evento X t n ,es la densidad beta k, n k 1 .
c) Encuentre nuevamente la funci´on de densidad gama k, λ de la
variable W k efectuando la siguiente suma

f s n P X t n .
W k X t
n k
133. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ,y sean s 1 , s 2
y t tiempos tales que 0 s 1 s 2 t.Demuestre que,condicionada
al evento X t n ,la variable X s 2 X s 1 tiene distribuci´on bin n, p
con p s 2 s 1 t.

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