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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 139 — #145
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4.6. Ejercicios 139

se descompone al recibir el k-´esimo impulso. Encuentre la funci´on de
densidad del tiempo de vida del circuito.

1 n
121. Sean X t : t 0 ,... , X t : t 0 procesos de Poisson indepen-
dientes, todos de par´ametro λ.Encuentre la distribuci´on de probabi-
lidad del primer momento en el cual:

a) Ha ocurrido en cada uno de los procesos al menos un evento.
b) Ocurre el primer evento en cualquiera de los procesos.

1 2
122. Sean X t : t 0 y X t : t 0 dos procesos de Poisson inde-
pendientes con par´ametros λ 1 y λ 2 ,respectivamente. Sea n cualquier
n´umero natural, y defina el tiempo aleatorio
1
τ ´ınf t 0: X t n .
2
Demuestre que X τ tiene distribuci´on binomial negativa, es decir,
para k 0, 1,...

n k 1 λ 1 k λ 2 n
P X τ 2 k .
k λ 1 λ 2 λ 1 λ 2

123. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ,y sea a 0
una constante. Demuestre que X at : t 0 es un proceso de Poisson
de par´ametro λa.

124. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ.Demuestre
que, condicionado a que el proceso tiene exactamente un saltoenel
intervalo s, s t ,elmomento en elque ese salto ocurre se distribuye
de manera uniforme en dicho intervalo.

125. Suponga que los mensajes llegan a una cierta cuenta de correo elec-
tr´onico de acuerdo a un proceso de Poisson de par´ametro λ.Cada
mensaje recibido es de tipo “basura” con probabilidad α y“no ba-
sura” con probabilidad 1 α.

a) Dado que hasta el tiempo t ha llegado n mensajes, encuentre la
distribuci´on del n´umero de mensajes tipo “basura” que hasta ese
momento han llegado.

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