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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 108 — #114
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108 3. Cadenas de Markov

b) Suponiendo que P τ n 1paratoda n 0, demuestre que
Y n : n 0 es una cadena de Markov y encuentre su matriz de
probabilidades de transici´on. Observe que Y n X τ n para n 0.

80. Sea X n : n 0 una cadena de Markov y defina el proceso Y n :
n 0 como el proceso original visto ´unicamente cuando cambia de
estado.

a) Demuestre que τ 0 , τ 1 ,... definidos abajo son tiempos de paro res-
pecto del proceso X n : n 0 .

τ 0 0,
τ n 1 m´ın n τ n : X n X τ n , n 0.

Observe que se puede escribir Y n X τ n ,para n 0.
b) Suponiendo que P τ n 1para toda n 0, es decir, no hay
estados absorbentes, demuestre que Y n : n 0 es una cadena
de Markov y encuentre su matriz de probabilidades de transici´on.

Recurrencia positiva y nula

81. Determine si la cadena de racha de ´exitos es recurrente positiva o nula.

82. Sea X n : n 0 una cadena de Markov con espacio de estados
0, 1, 2,... yprobabilidades de transici´on

p 0,i a i para i 0, 1, 2,...
p i,i 1 1para i 1, 2, 3,...

1. Encuentre condiciones suficientes sobre
en donde a 0 a 1
estas probabilidades para que la cadena sea:
a) Irreducible.
b) Recurrente.

c) Recurrente positiva.
83. Sea P una matriz doblemente estoc´astica. Demuestre directamente
que:

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