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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 107 — #113
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3.18. Ejercicios 107

c) La uni´on de todas las clases de comunicaci´on recurrentesde una
cadena de Markov es una clase cerrada.

77. Proporcione ejemplos que muestren la invalidez de las siguientes afir-
maciones.

c
a) Si C es una clase cerrada, entonces C es cerrada.
C 2 es cerrada.
b) Si C 1 y C 2 son dos clases cerradas, entonces C 1
c) Si C 1 y C 2 son dos clases cerradas distintas tales que C 1 C 2 ,
entonces C 2 C 1 es una clase cerrada.

Propiedad fuerte de Markov

78. Sea X n : n 0 una cadena de Markov con probabilidades de transi-
ci´on estacionarias y sea τ un tiempo de paro respecto de este proceso.
Suponiendo que τ es finito, use el m´etodo de inducci´on para demostrar
que

a) P X τ n 1 j X τ n i P X 1 j X 0 i .Esta propiedad
es la estacionariedad de las probabilidades de transici´on en una
versi´on m´as general.

b) Se cumple la propiedad fuerte de Markov: La probabilidad

P X τ n 1 j X 0 x 0 ,... ,X τ n 1 x n 1 ,X τ n i

i .
es igual a P X τ n 1 j X τ n
79. Sea X n : n 0 una cadena de Markov con espacio de estados S ysea
S 1 es subconjunto propio no vac´ıo de S.Defina el proceso Y n : n 0
como el proceso original visto ´unicamente cuando toma valores en S 1 .

a) Demuestre que τ 0 , τ 1 ,... definidos abajo son tiempos de paro res-
pecto del proceso X n : n 0 .

τ 0 m´ın n 0: X n S 1 ,
τ n m´ın n τ n 1 : X n S 1 , n 1.

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