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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 68 — #74
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68 3. Cadenas de Markov

En el caso sim´etrico, es decir, en el caso en el que la cadena esrecurrente,
este cociente se hace infinito. Esto demuestra que el estado 0 es recurrente
nulo, y por lo tanto la cadena entera es recurrente nula.

Ejemplo 3.15 Demostraremos ahora que la cadena de Markov de rachas
de ´exitos es recurrente positiva. Recordemos que dicha cadena es irreducible
y recurrente. Comprobaremos que el tiempo medio de recurrencia del estado
0 es finito. En efecto,

1
n 1
n 1
µ 0 nf 00 n n 1 p p 1 p np .
1 p
n 1 n 1 n 1
Esto demuestra que el estado 0 es recurrente positivo y siendo la cadena
irreducible, es recurrente positiva. Por lo tanto, el tiempomediode recu-
rrencia de cada estado es finito. Hemos aprovechado la facilidad del c´alculo
de las probabilidades de primer regreso al estado 0.

Se ha demostrado antes que toda cadena finita tiene por lo menosun estado
recurrente. Demostraremos ahora que para cadenas finitas s´olo puede haber
dos tipos de estados: transitorios o recurrentes positivos.

Proposici´on 3.16 No existen estados recurrentes nulos en cadenas de Mar-
kov finitas.

Demostraci´on. Sea j un estado recurrente y sea C su clase de comuni-
caci´on. La clase C es cerrada y adem´as es finita, pues la cadena completa
lo es. Demostraremos que µ j .Para cualquier i C,y k natural,

p ij k 1.
j C
Entonces
n n
1 1
p ij k p ij k 1.
n n
k 1 j C j C k 1
Haciendo n ,por elteorema erg´odico aplicado a la clase cerrada C se
obtiene
1
1.
µ j
j C

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