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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 72 — #78
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72 3. Cadenas de Markov

estacionaria o invariante. Observe que el vector de ceros cumple la condici´on
π π P,sin embargo no corresponde a una distribuci´on de probabilidad.
Los siguientes ejemplos muestran que las distribuciones estacionarias pueden
no ser ´unicas y pueden incluso no existir.

Ejemplo 3.18 (Existencia m´ultiple) Considere una cadena de Markov
sobre el conjunto de estados 0, 1, 2 yconprobabilidades de transici´on dada
por la siguiente matriz

1 0 0
P 1 31 31 3 .
0 0 1

Es inmediato comprobar que el vector π 1 α, 0, α satisface el sis-
tema de ecuaciones π πP para cada α 0, 1 .Existen entonces una in-
finidad de distribuciones estacionarias para esta cadena. Observe que el vec-
tor 1 α, 0, α se puede escribir como la combinaci´on lineal 1 α 1, 0, 0
α 0, 0, 1 .

Ejemplo 3.19 (No existencia) Para la caminata aleatoria sim´etrica sim-
ple sobre Z no existe ninguna distribuci´on estacionaria pues la condici´on
π πP se traduce en el sistema de ecuaciones

1 1
π j π j 1 π j 1 , j Z,
2 2
π j 1 .M´as expl´ıcitamente, iniciando con la identidad
obien π j 1 π j π j
π 1 π 0 π 1 π 0 ,y escribiendo algunas de estas diferencias en t´erminos
π 0 se encuentra que
de la diferencia π 1

π 1 π 0 π 1 π 0
π 2 π 1 π 1 π 0
π 3 π 2 π 1 π 0
. . .

π n π n 1 π 1 π 0 .
Sumando estas n ecuaciones se llega a que para todo entero n 1,

π n π 0 n π 1 π 0 .

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