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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 67 — #73
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3.11. Recurrencia positiva y nula 67

se tiene que j es tambi´en un estado recurrente. Adem´as existen enteros no
negativos n y m tales que p ij n 0y p ji m 0. Entonces para cualquier
entero natural k,

p jj n m k p ji m p ii k p ij n .
Sumando para k 1,... ,N,y dividiendo entre N,

1 N 1 N
p jj n m k p ji m p ii k p ij n .
N N
k 1 k 1
Haciendo N se obtiene
1 1
p ji m p ij n 0.
µ j µ i

Por lo tanto el cociente 1 µ j es estrictamente positivo. Ello significa que µ j
es finito, es decir, j es recurrente positivo. !

De esta forma, el espacio de estados de toda cadena de Markov puede des-
componerse en tres grandes subconjuntos ajenos de estados: transitorios,
recurrentes positivos y recurrentes nulos. Esto se muestra en la Figura 3.15.
Cada una de estas colecciones de estados puede estar constituida por ningu-
na, una o varias clase de comunicaci´on.

Estados Estados
Estados recurrentes recurrentes
transitorios
nulos positivos

Descomposici´on del espacio de estados
Figura 3.15

Ejemplo 3.14 Anteriormente demostramos que para la caminata aleatoria
sobre Z,el tiempo promedio deregreso al estado 0 es

4pq
µ 0 nf 00 n .
1 4pq
n 0

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