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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 66 — #72
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66 3. Cadenas de Markov

promedio de retorno es finito o cuando es infinito. Esto lleva a la definici´on
de recurrencia positiva y recurrencia nula respectivamente. Consideremos
entonces que j es un estado recurrente. El tiempo de primera visita a este
estado, a partir de cualquier otro estado i,es la variable aleatoria discreta

τ ij m´ın n 1: X n j X 0 i .Recordemos que cuando eltiempo de
primera visita se refiere al mismo estado recurrente de inicioy de llegada i,
se escribe simplemente como τ i en lugar de τ ii .La esperanza de esta variable
aleatoria es naturalmente el tiempo medio de recurrencia.

Definici´on 3.11 El tiempo medio de recurrencia de un estado recurrente
j,a partir del estado i,sedefinecomo la esperanza de τ ij ,y se denota por
µ ij ,es decir,

µ ij E τ ij nf ij n .
n 1
Nuevamente cuando el tiempo medio de recurrencia se refiere almismo
estado recurrente de inicio y de llegada i,se escribe simplemente como µ i .
Como hemos mencionado, esta esperanza puede ser finita o infinita, y ello
lleva a la siguiente clasificaci´on de estados recurrentes.

Definici´on 3.12 Se dice que un estado recurrente i es:

a) recurrente positivo si µ i .

b) recurrente nulo si µ i .
Demostraremos a continuaci´on que la recurrencia positiva yla recurrencia
nula son propiedades de las clases de comunicaci´on. Es decir, dos estados en
una misma clase de comunicaci´on recurrente, son ambos recurrentes posi-
tivos o recurrente nulos.
Proposici´on 3.15 Sea i un estado recurrente. Entonces,

a) si i es recurrente positivo e i j,entonces j es recurrente positivo.

b) si i es recurrente nulo e i j,entonces j es recurrente nulo.

Demostraci´on. Observe que es suficiente demostrar cualquiera de estas
afirmaciones. Demostraremos la primera. Suponga que i es un estado recu-
rrente positivo, es decir, i es recurrente y es tal que µ i .Como i j,

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