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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 61 — #67
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3.10. N´ umero de visitas 61

3. Si f ij 0y f jj 1, es decir, si se puede pasar de i a j y j es transitorio,
entonces la probabilidad se distribuye sobre los valores finitos 0, 1,...
como indica la f´ormula del inciso (b).

Apartir de las f´ormulas reci´en demostradas podemos distinguir el compor-
tamiento del n´umero de visitas en los casos cuando el estado j es transitorio
orecurrente.

Transitoriedad y n´umero de visitas
Si j es transitorio, entonces sin importar el estado inicial i,con probabilidad
uno la cadena realiza s´olo un n´umero finito de visitas al estado j,esto es
lo que dice la f´ormula del inciso (e), y el n´umero esperado devisitas a tal
estado es siempre finito por la f´ormula del inciso (c) con f jj 1, es decir,
E N ij n 1 p ij n .Por lo tanto, encontramos nuevamente que
l´ım p ij n 0.
n

Recurrencia y n´umero de visitas
Si j es recurrente, y si se inicia en j,entonces con probabilidad uno la cadena
regresa a j una infinidad de veces, esto es lo que dice la f´ormula del inciso (d)
con f ij f jj 1, y el n´umero esperado de visitas al estado j es infinito.
Si la cadena inicia en cualquier otro estado i,entonces existe la posibilidad
de que la cadena nunca visite j (es decir,f ij 0), y el n´umero esperado de
visitas es naturalmente cero (f´ormula del inciso (c) con f ij 0). Pero si la
cadena visita j alguna vez (f ij 0), entonces regresar´a a j una infinidad de
veces, y el n´umero esperado de visitas al estado j es infinito por la f´ormula
del inciso (c) con f ij 0y f jj 1.

N´umero esperado de visitas
Anteriormente hab´ıamos demostrado un criterio para la transitoriedad y la
recurrencia del estado i en t´erminos de la convergencia o divergencia de
la serie n 1 ii n .En vista de la f´ormula delinciso (c) ahora podemos
p
corroborar que un estado i es recurrente si, y s´olo si, el n´umero promedio de
regresos a ´el es infinito, y es transitorio si, y s´olo si, el n´umero promedio de
regresos es finito. Tambi´en en particular, la f´ormula del inciso (d) muestra
que toda cadena de Markov irreducible y recurrente, visita cada uno de sus
estados una infinidad de veces con probabilidad uno.

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