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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 311 — #317
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de X dado G ,es una variable aleatoria denotada por E X G ,que cumple
las siguientes tres propiedades:

a) Es G -medible.

b) Tiene esperanza finita.

c) Para cualquier evento G en G ,

E X G dP XdP.
G G

Es importante enfatizar que la esperanza condicional es una variable aleato-
ria. Usando el teorema de Radon-Nikodym (v´ease por ejemplo [7]), puede
demostrarse que esta variable aleatoria existe y es ´unica casi seguramente.
Esto significa que si existe otra variable aleatoria con las tres propiedades
anteriores, entonces con probabilidad uno coincide con E X G .Cuando
la σ-´algebra G es generada por una variable aleatoria Y ,es decir, cuando
G σ Y ,la esperanza condicional se escribe simplemente como E X Y .
Mencionaremos a continuaci´on algunas propiedades de esta variable aleato-
ria, en estas expresiones se postula de manera impl´ıcita quela variable a la
que se le aplica la esperanza condicional es integrable.

1. Si c es constante, entonces E c G c.

2. E X , Ω E X .
, Ω P A .
3. Si A es un evento, entonces E 1 A

4. Si A y B son eventos con 0 P B 1, entonces
c
c
c
E 1 A ,B,B , Ω P A B 1 B P A B 1 B .
5. Si A es un evento y B 1 ,... ,B n es una partici´on de Ω tal que P B i
0para i 1,... ,n,entonces

n
E 1 A σ B 1 ,... ,B n P A B i 1 B i .
i 1

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