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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 313 — #319
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20. Si XY es integrable y X es G -medible, entonces

E XY G XE Y G .

21. X es independiente de G si, y s´olo si, E f X G E f X para
cualquier funci´on Lebesgue medible f tal que f X es integrable.
22. Desigualdad de Jensen.
Si u es convexa y u X es integrable, entonces

u E X G E u X G .

Funciones directamente Riemann integrables
Sea H : 0, 0, una funci´on Borel medible. Sea h 0, y para cada
n natural defina las funciones

α n h ´ınf H t : n 1 h t nh ,
β n h sup H t : n 1 h t nh .

Suponga que las siguientes funciones son absolutamente convergentes

α h h α n h ,
n 1
β h h β n h ,
n 1

0 α h 0 β h .Entonces se dice que la funci´on
yque adem´as l´ım h l´ım h
H es directamente Riemann integrable. Esta condici´on de integrabilidad es
m´as fuerte que la integrabilidad usual de Riemann, es decir,toda funci´on
directamente Riemann integrable es Riemann integrable, porejemplo,
a) H t 1 0,a t es d. R. integrable.
b) H : 0, 0, no creciente y tal que H t dt ,es d.R.
0
integrable.

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