Page 109 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 101 — #107
✐ ✐

3.18. Ejercicios 101

45. Se colocan N bolas negras en una primera urna, y N bolas blancas en
una segunda urna. Se selecciona al azar una bola de cada urna y se
intercambian. Este ensayo se repite varias veces. Sea X n el n´umero de
bolas blancas en la primera urna despu´es del n-´esimo ensayo. Justi-
fique que X n : n 1 es una cadena de Markov y encuentre la matriz
de probabilidades de transici´on.

46. Sea ξ 0 , ξ 1 ,... una sucesi´on de variables independientes con id´entica
distribuci´on Ber p .Determine sielproceso X n : n 1 definido
acontinuaci´on es una cadenade Markov. Encaso afirmativo deter-
mine el espacio de estados y encuentre la matriz de probabilidades de
transici´on.

a) X n ξ n ξ n 1 .
b) X n X n 1 ξ n .
c) X n X n 1 ξ n ,(m´od. 2).

47. Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on infinita de variables independientes con
valores en el conjunto 0, 1, 2, 3, 4 ycon id´entica distribuci´on dada
por p 0 ,p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 .Determine si elproceso X n : n 1 definido a
continuaci´on es una cadena de Markov. En caso afirmativo encuentre
el espacio de estados y la matriz de probabilidades de transici´on.

X 0 0,
X n 1 X n ξ n 1 (m´od. 5), para n 0.

48. Modificaci´on de la cadena de Ehrenfest. Considere el esquema de dos
urnas como en la cadena de Ehrenfest con un total de N bolas. Supon-
ga ahora que un ensayo consiste en que cada una de las bolas se cambia
de urna con una distribuci´on de probabilidad especificada p 1 ,... ,p N ,
sin importar la posici´on de las bolas. Sea X n el n´umero de bolas en
una de las urnas despu´es del n-´esimo ensayo. ¿Es esta una cadena de
Markov? En caso afirmativo encuentre la matriz de probabilidades de
transici´on.

49. Sea X n : n 0 una cadena de Markov con espacio de estados E.
Defina el proceso Y n : n 0 de la siguiente forma: Y n X n ,X n 1 .

✐ ✐

✐ ✐