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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 100 — #106
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100 3. Cadenas de Markov

yprobabilidades de transici´on tales que para cualquier estado i,

N
E X n 1 X n i jp ij i,
j 0

es decir, el estado promedio despu´es de una transici´on es elestado
inicial. Demuestre que esta cadena es una martingala y que losestados
0y N son absorbentes.

42. Renovaciones discretas. Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on de variables aleato-
rias independientes id´enticamente distribuidas, y con valores en el
conjunto 1, 2,... .Interpretaremos estas variables discretas como los
tiempos de vida de art´ıculos puestos en operaci´on uno despu´es de otro
en un proceso de renovaci´on a tiempo discreto. Sea X 0 0y para
cada n 1sea X n ξ 1 ξ n .Para cada k 1, 2,... defina

N k m´ax n 1: X n k .
Si el conjunto indicado es vac´ıo, entonces el m´aximo se define como
cero. La variable N k cuenta el n´umero de renovaciones efectuadas has-
ta el tiempo k.Sea A k k X N k ,es decir, A k es la edad del art´ıculo
que se encuentra en operaci´on al tiempo k,o bien, eltiempo transcu-
rrido desde la ´ultima renovaci´on. La notaci´on A proviene del t´ermino
en ingl´es Age.Demuestre que elproceso A k : k 1 es una cadena
de Markov con espacio de estados 0, 1,... ,y con probabilidades de
transici´on
P X i 1 P X i 2
p i,0 , p i,i 1 .
P X i 1 P X i 1
43. Considere la cadena de inventarios en donde ξ n tiene distribuci´on uni-
forme en el conjunto 0, 1, 2, 3 ,con s 1y S 4. Encuentre la
matriz de probabilidades de transici´on de esta cadena.

44. Sea X n : n 0 la cadena de Markov de dos estados. Demuestre
que el proceso Y n X n 1 ,X n es una cadena de Markov. Determine
el espacio de estados de este nuevo proceso y encuentre la matriz de
probabilidades de transici´on. Generalice este resultado para cualquier
cadena con espacio de estados 0, 1,... .

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