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58 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

Proposici´on 2.6 Si φ x es la funci´on de densidad de la distribuci´on nor-
mal est´andar, entonces para cualquier entero n 0,

n
n r 2
e rx 1 φ n x dx r e 2 .

Demostraci´on. Primeramente tenemos que para n 0,

2
rx
e φ x dx e r 2 ,

2
es decir, e r 2 es la funci´on generadora de momentos de la distribuci´on nor-
mal est´andar. Multiplicando por r tenemos que

2
rx
re r 2 re φ x dx
d rx
e φ x dx
dx
rx
e φ x dx.

2
Es decir, re r 2 es la transformada de Laplace de φ x .Procediendo de
manera an´aloga, multiplicando sucesivamente por r, se llega a la f´ormula
anunciada. !

2
En particular, se ha demostrado que re r 2 es la transformada de Laplace
de φ x . En este caso usamos el t´ermino transformada de Laplace y no
funci´on generadora de momentos, pues la funci´on φ x no es una funci´on
n r 2
de densidad. Entonces el resultado anterior establece que la funci´on r e 2
n
es la transformada de Laplace de 1 φ n x . El siguiente paso es invertir
cada uno de los t´erminos de la igualdad (2.4), aunque realmente que no se
est´a calculando de manera formal la inversa de la funci´on generadora de
momentos (o transformada de Laplace) sino que se est´a usandoel hecho de
que si dos distribuciones de probabilidad tienen la misma funci´on generadora