Page 63 - riesgo2012

2.2. Aproximaci´ on normal 53

en donde S y S son riesgos con reclamaciones enteras para los cuales puede
aplicarse la f´ormula de Panjer y obtener su distribuci´on (exceptuando un
peque˜no error obtenido por el caso Y j 0). En cualquier caso podemos ser
prudentes y tomar las reclamaciones de manera sobreestimada: para n 0,

Y j n 1 cuando Y n, n 1 .
De esta forma cualquier valor continuo de una reclamaci´on enel intervalo
n, n 1 se considera como si fuera de magnitud n 1.Porlo tanto,
los montos de las reclamaciones est´an siendo ligeramente sobrevaluadas: si
G x denota la funci´on de distribuci´on de una reclamaci´on Y cualquiera,
entonces

P Y j n 1 G n 1 G n , n 0, 1, 2,...

En las siguientes secciones estudiaremos algunos m´etodos generales para
aproximar la distribuci´on de probabilidad de un riesgo en el modelo colec-
tivo. Estas aproximaciones son muy generales y no presuponenel cumpli-
miento de las hip´otesis para la validez de la f´ormula de Panjer, es decir,
el n´umero de reclamaciones no necesariamente tiene una distribuci´on en la
clase a, b, 0 , ni el monto de las reclamaciones es necesariamente discreto.
Por otro lado, el problema de estimar el error en estas aproximaciones es
muy general y no nos ocuparemos de ello.

2.2. Aproximaci´on normal

Si la distribuci´on de probabilidad del n´umero de reclamaciones N se concen-
tra mayormente en valores grandes, entonces el teorema central del l´ımite
sugiere aproximar la distribuci´on del riesgo S mediante la distribuci´on nor-
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mal. Suponga que la esperanza de S es m y la varianza es σ . Entonces,
para x 0,
S m x m
P S x P
σ σ
x m
Φ .
σ
Derivando esta expresi´on se encuentra una f´ormula aproximada para la fun-
ci´on de densidad de S.