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48 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

Demostraci´on. Para el primer inciso, por id´entica distribuci´on,

k k k
1
E Y 1 Y j r E Y i Y j r
k
j 1 i 1 j 1
k k
1
E Y i Y j r
k
i 1 j 1
r
.
k

Para el segundo inciso desarrollamos el lado derecho,

r 1 r
bi k 1 bi
p k 1 a f r i f i p k 1 a P Y 2 Y k r i P Y 1 i
r r
i 1 i 1
r
bi
p k 1 a P Y 1 i, Y 2 Y k r i
r
i 1
r bi k
p k 1 a P Y 1 i, Y j r
r
i 1 j 1
r bi k
p k 1 a P Y 1 i Y j r f r k
r
i 1 j 1
k
bY 1 k
p k 1 E a Y j r f r
r
j 1
b k
p k 1 a f r
k
p k f r k

!

Ahora estamos listos para enunciar y demostrar la f´ormula de Harry Pan-
jer [27], publicada en 1981.