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2.4. Aproximaci´ on de Edgeworth 59

de momentos, entonces las distribuciones coinciden. As´ı, invirtiendo t´ermino
a t´ermino la igualdad (2.4), se obtiene

a 3 3 a 4 4 a 2 3 6
f Z z φ z φ z φ z φ z . (2.5)
6 24 72
Recordemos que hemos definido Z S m σ, por lo tanto la funci´on de
densidad de S m σZ est´a dada por

1 x m
f S x f Z ,
σ σ
y de esta forma se llega al siguiente resultado:

Proposici´on 2.7 (Aproximaci´on de Edgeworth) Sea S un riesgo con
2
media m,varianza σ ycuya funci´on generadora de momentos existe. En-
tonces la funci´on de densidad de S puede aproximarse de la siguiente forma:

1 x m a 3 x m a 4 x m a 2 x m
f S x φ φ 3 φ 4 3 φ 6 .
σ σ 6 σ 24 σ 72 σ

Derivando directamente la funci´on de densidad φ x de la distribuci´on nor-
mal est´andar puede demostrarse que

3
φ 3 x 3x x φ x ,
4
φ 4 x 3 6x 2 x φ x ,
6
φ 6 x 15 45x 2 15x 4 x φ x .

Estas expresiones pueden sustituirse en la aproximaci´on de Edgeworth para
obtener una expresi´on en t´erminos de ´unicamente la funci´on φ x . Observe
que el primer sumando en la aproximaci´on de Edgeworth corresponde a
2
la funci´on de densidad normal con media m y varianza σ . No es dif´ıcil
verificar adem´as que cuando el riesgo S sigue una distribuci´on normal, la
aproximaci´on de Edgeworth es exacta, pues produce como resultado la mis-
ma distribuci´on con los mismos par´ametros.