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60 2. F´ ormula de Panjer y m´ etodos de aproximaci´ on

La aproximaci´on de Edgeworth puede expresarse tambi´en en t´erminos de la
funci´on de distribuci´on de la siguiente forma: integrando (2.5) se obtiene

a 3 3 a 4 4 a 2 3 6
F Z z Φ z Φ z Φ z Φ z ,
6 24 72
considerando la identidad F S x F Z x m σ , se tiene que la aproxima-
ci´on de Edgeworth para un riesgo S en t´erminos de la funci´on de distribuci´on
es

x m a 3 x m a 4 x m a 2 x m
F S x Φ Φ 3 Φ 4 3 Φ 6 ,
σ 6 σ 24 σ 72 σ

en donde derivando directamente la funci´on Φ z puede demostrarse que

Φ 3 z z 2 1 φ z ,
Φ 4 z z 3 3z φ z ,
Φ 6 z z 5 10z 3 15z φ z .

Comentarios y referencias

Hemos dedicado este peque˜no cap´ıtulo a la presentaci´on de la f´ormula de
Panjer. Dentro de su ´ambito de aplicaci´on, esta importante f´ormula pro-
porciona un mecanismo recursivo para calcular de manera exacta la dis-
tribuci´on de probabilidad de un riesgo que sigue el modelo colectivo. Debe
tenerse cuidado en la implementaci´on en computadora de esta f´ormula, pues
podr´ıan presentarse problemas num´ericos por cuestiones de redondeo o ba-
ja precisi´on en los c´alculos. Cuando las hip´otesis para aplicar la f´ormula de
Panjer no se cumplen, se cuenta con algunos m´etodos para aproximar la
distribuci´on del riesgo y hemos presentado s´olo unos pocos de ellos, dejando
de lado el problema general de establecer condiciones bajo las cuales los
m´etodos de aproximaci´on mencionados son adecuados. El material de este
cap´ıtulo est´a basado en las notas de Schmidli [34]. Otras referencias en el
tema son: Dickson [13] y Rolski et al. [32].